Trinômio do Quadrado Perfeito

Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

O que é trinômio
Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:
3x² + 2x + 1
20x³ + 5x – 2x² 
2ab +5b + 3c
 

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:
 

Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 5² = 25.

Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.

Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x² + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x²+ 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m² – m n + n² , devemos tirar as raízes dos termos m² e n² , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y² , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.